Concepto Circunferencia, Parábola, Hipérbole y Elipse
Circunferencia:
Sea O un punto del plano y
sea “r” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto
de puntos P (x, y) tal que la distancia de P a O es igual a “r”. Es decir:
Circunferencia = {P (x, y) / d (P, O) =r}. Al punto “O” se le denomina centro de la
circunferencia y a “r” se le denomina radio de la circunferencia.
Es decir, se denomina
circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un
punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
Ecuación analítica de la circunferencia:
Si hacemos coincidir el
centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la
circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que
responde al teorema de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el
centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es
constante e igual al radio r tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada
canónica podemos desarrollarla resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado
perfecto) y obtenemos: x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2
tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación
x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6
Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la
circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el
radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2
Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Parábola:
Sea l una recta y sea F un punto. La parábola se define como
el conjunto de puntos P (x, y)
tal que su distancia al punto F es
igual a su distancia a la recta l. Es
decir:
Parábola = {P (x, y)
/ d (P, F) = d (p, l)}
Es decir, es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco
y de una recta fija llamada directriz.
Ecuación analítica de la parábola:
Supongamos que el foco esté
situado en el punto (0, c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto, el
vértice está en su punto medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x, y)
de la parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF =
PQ
Elevando al cuadrado ambos
miembros: x2 = 4cy. Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q)
entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c (y – q)
desarrollando la ecuación
tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq =
0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq
obtendremos que es: x2 + Dx
+ Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2.
Observación: es de destacar
que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los ejes de
simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso
contrario aparecería este término, que como es lógico dependerá del ángulo de
inclinación de los ejes.
Hipérbole
Es el lugar geométrico de
los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es
constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
Ecuación analítica de la hipérbola:Nuevamente ubiquemos los
focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P
= (x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre
PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas
y la intersección de la hipérbola con el eje x.
Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos
miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c2 –
a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta, pero
puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a
partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por
lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada término por
a2b2 obtenemos:
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 –
By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la
circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen por qué
ser iguales.
Asíntotas: son rectas que
jamás cortan a la hipérbole, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas
deben pasar por el "centro" (p, q)
Las ecuaciones de las
asíntotas son:
Elipse:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos
se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse:
para simplificar la explicación ubiquemos a los
focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F
(c,0) y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas
coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de
las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos
que:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
Tendremos la ecuación: Ax2 +
By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la
circunferencia excepto que los términos A y B no tienen por qué ser iguales.E = p2b2 + q2a2 – a2b2
Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0
Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2 Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2 Þ a = 3
Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q).
C = 24 Þ 24 = – 2pb2 Þ p
= – 3
D = – 54 Þ – 54 = –
2qa2 Þ q = 3
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para
verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de
81. E = p2b2 + q2a2 –
a2b2 = 81La ecuación de la elipse queda:
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